Tensões na seção

Com M > 0, a face −y da seção (a Inferior) fica tracionada, e a face +y (a Superior) comprimida. A face +y é a mesma do campo de inserção da seção, e é nela que fica a mesa do T.

No mesmo ponto físico, inverter a ordem dos nós da barra troca o sinal de M, e não o de N nem o de V. A face tracionada na tela não muda, porque o desenho gira a seção junto (Em cima e embaixo no desenho). Por isso o diálogo escreve a face pela posição no desenho, “traciona embaixo”, e não pelo sinal.

Na leitura na corda, τ carrega o sinal do V do diagrama em toda a altura da seção, porque o momento estático Q, tomado em relação ao eixo do centroide, é sempre positivo.

A análise devolve os esforços em 21 estações igualmente espaçadas por barra, com a derivada do momento em cada uma. O corte pode cair entre duas estações, e o diálogo não usa a estação mais próxima: reconstrói os esforços no ponto.

Entre duas estações, M sai do polinômio cúbico de Hermite com M e dM/dx nas duas pontas do intervalo, e V é a derivada desse polinômio. A reconstrução é exata, porque nas cargas que o Pórtico 2D aplica (distribuídas em toda a barra, pontuais nos nós, térmicas e de pressão) o momento é no máximo cúbico em cada barra. N sai da parábola por três estações vizinhas, também exata, porque N é no máximo quadrático.

Na viga biapoiada de 6 m com q = 10 kN/m, as estações ficam a cada 0,3 m. Em x = 1,7 m, a leitura dá M = 36,55 kN·m e V = 13,0 kN, os valores exatos:

M = q·x·(L − x)2 = 10 · 1,7 · 4,32 = 36,55 kN·m

A estação mais próxima, em 1,8 m, daria 37,80 kN·m, e a interpolação linear entre 1,5 m e 1,8 m, 36,45 kN·m.

Quando o resultado não traz a derivada do momento, M e V caem para a interpolação linear entre as estações (N continua pela parábola), e o diálogo mostra a ressalva de esforços aproximados.

A régua e o clique encostam o corte nos pontos em que a leitura costuma interessar, calculados sobre as mesmas curvas exatas dos esforços (o maior |N|, procurado nas estações):

Quando vários pontos caem na mesma posição, como o meio do vão, V = 0 e o maior |M| de uma viga biapoiada com carga uniforme, a régua mostra um chip só, com os significados no título. Um esforço constante ao longo da barra não tem máximo a apontar, e o chip dele não aparece.

No clique sobre a barra, o corte encosta no ponto notável mais próximo quando ele está a menos de 10 px do ponteiro, ou 20 px no toque. No arraste da régua, esse ímã alcança 1,2 % do comprimento da barra.

As tensões num ponto pedem os esforços de um mesmo estado de carregamento, que agem juntos. Dois tipos de resultado do pós não têm isso, e o diálogo não os lê.

A envoltória guarda, em cada ponto, o máximo e o mínimo de cada esforço entre as combinações, e esses extremos vêm de estados diferentes. Somar o maior N de um estado ao maior M de outro daria uma tensão que nenhum carregamento produz.

A linha de influência e o trem-tipo descrevem como um esforço varia com a posição de uma carga móvel. Não são os esforços de um estado da estrutura.

Nos dois casos, o diálogo diz a razão e o que fazer: escolher um caso ou uma combinação no seletor de resultados, ou voltar à lente Diagramas.

O desenho da seção segue a tela. Numa barra horizontal, o lado de cima do desenho é o lado de cima da barra no pórtico. Numa barra vertical, por convenção, é o lado esquerdo. É a mesma regra de topo e base da carga térmica.

A face +y da seção, a Superior, é a do campo de inserção e a da mesa do T. Ela fica em cima quando a barra é desenhada da esquerda para a direita, ou, na vertical, de baixo para cima. Desenhada no sentido oposto, a barra tem a face +y embaixo na tela, e o diálogo mostra a seção girada 180°, com “Girada 180°” no cabeçalho.

Assim, a face que o desenho mostra tracionada é a que está tracionada na tela, qualquer que seja a ordem dos nós. Os rótulos +y e −y do desenho dizem qual face é qual. A coordenada y continua medida do centroide para a face +y também na seção girada: nela, a fibra de cima do desenho tem y negativo.

Nos perfis laminados, a análise usa o momento de inércia do catálogo, que inclui os raios de concordância entre a alma e as mesas. O desenho da seção tem cantos vivos, e o I desse contorno é menor. No W 310x38,7, são 8405 cm⁴ no contorno contra 8581 cm⁴ no catálogo, 2,05 % a menos.

As tensões normais usam o I da análise, e assim σ_máx = M/W coincide com a do catálogo. No cisalhamento pela corda, Q e b vêm do contorno e I vem da análise, como nos livros. Por isso a integral de τ na seção dá 0,98 V nesse perfil, e não V.

Nos perfis formados a frio, A e I vêm das expressões da ABNT NBR 6355, e o contorno com os raios de dobra difere delas em até 2 % no I. A mesma ressalva cobre esse caso.

A seção genérica só tem A e I. Esses dois números não dizem onde fica o centroide nem qual é a largura em cada altura, e desenhar σ entre ±h/2 seria inventar uma seção simétrica. O diálogo mostra os esforços no corte e recusa a distribuição, com a razão. Definir o tipo da seção (retângulo, círculo, T, I, tubo ou um perfil de catálogo) resolve.

Uma seção com tipo, mas com dimensões que não fecham um contorno, como a parede de um tubo com espessura igual ou maior que o raio, tem a mesma recusa, com o pedido de corrigir as dimensões. É o mesmo critério do desenho da seção no cartão.

Uma barra sem seção atribuída não abre o diálogo: o clique só a seleciona, e o botão do cartão fica desabilitado, com a razão. Se o diálogo chega a ela pela barra vizinha, mostra os esforços e diz que falta a seção.

O diálogo é uma leitura de Resistência dos Materiais: mostra as tensões e não diz se a seção resiste. Nenhuma tensão é comparada com a resistência do material, seja a de escoamento do aço, f_y, seja a de tração do concreto, f_ct. A tensão de von Mises não tem limite ao lado, e nenhum número ganha cor de aprovado ou reprovado.

As cores dos desenhos são as de sinal dos diagramas do usuário, com a tração na cor do N positivo e a compressão na outra. A tensão equivalente σ_eq usa uma cor só, sem sinal.

A verificação de barras de aço pela ABNT NBR 8800:2024 é outro módulo, com o próprio modelo de resistência. As linhas V/A e V/A_w da leitura na corda são referências de leitura: A_w = d·t_w é a área de cisalhamento que aquele módulo usa nos perfis I, e o τ máximo de Jourawski no W 310x38,7 passa V/A_w em 9 %.

A linha neutra é a fibra em que σ = 0. Da fórmula de Navier:

y_LN = N·IM·A

Com N = 0, ela passa no centroide, e a seção gira em torno dele. Com M = 0 não há linha neutra: σ = N/A é a mesma em toda a seção. Quando y_LN cai fora da seção, a seção está inteira tracionada ou inteira comprimida, e o diálogo diz qual das duas.

Com N e M juntos, a linha neutra se afasta do centroide para o lado que a flexão traciona quando N é de compressão, e para o lado que ela comprime quando N é de tração. No desenho, ela é a linha tracejada LN, e a legenda embaixo dá a distância dela ao centroide.

Num pilar de 20 × 40 cm com N = −200 kN (compressão) e M = 30 kN·m, N/A = −2,5 MPa e M·c/I = ±5,625 MPa. A face de baixo fica com +3,125 MPa e a de cima com −8,125 MPa. A linha neutra fica 8,89 cm abaixo do centroide, do lado tracionado:

y_LN = (−200 kN) · (106 667 cm⁴)(3000 kN·cm) · (800 cm²) = −8,89 cm

Na corda horizontal na altura y, a tensão de cisalhamento média é:

τ(y) = V·Q(y)I·b(y)

Q(y) é o momento estático, em relação ao eixo do centroide, da parte da seção acima da corda (Momento estático Q = A'·ȳ'), e b(y) é a largura de material na corda. A fórmula é a de JOURAWSKI (1856) e é deduzida nos livros de Resistência dos Materiais (HIBBELER; BEER et al.; TIMOSHENKO e GERE).

É a média na largura. A tensão real varia ao longo da corda, pouco nas cordas estreitas e mais nas largas, e por isso a linha de hipóteses diz “τ médio na largura”.

τ salta onde a largura muda de repente, como na junção da mesa com a alma: Q é contínuo, e b passa da largura da mesa à da alma. O diagrama marca os dois valores de cada salto, além do τ máximo.

Nas seções maciças simples, o máximo fica no centroide e tem fórmula fechada:

τ_máx = 32·VA (retângulo), τ_máx = 43·VA (círculo)

Como referência de leitura, o diagrama traz tracejadas a tensão média V/A e, nos perfis I, V/A_w, com A_w = d·t_w, a área de cisalhamento que a verificação de aço pela ABNT NBR 8800:2024 adota. Nenhuma das duas é limite.

O momento estático Q da parte da seção acima da corda, em relação ao eixo do centroide, é a área dessa parte vezes a distância do centroide dela ao da seção:

Q = A'·ȳ'

A' é a área acima do corte, que o desenho hachura, e ȳ' é a distância do centroide dela ao centroide da seção, cotada à direita do desenho. A linha de Q na conta traz os dois números e o produto.

b é a soma das cordas de material na altura do corte. Numa seção com vazio, como o tubo ou a caixa, as duas paredes cortadas somam, e o vazio fica fora. O desenho destaca essas cordas.

Q é o mesmo em módulo tomando a parte de cima ou a de baixo, porque as duas se equilibram em relação ao centroide. Na seção girada, a parte acima do corte no desenho é a de y menor, e Q não muda. Q é máximo no centroide e nulo nas fibras extremas.

No T de concreto de 60/10/20/50 cm, na corda do centroide, a parte de cima é a mesa inteira e 9,29 cm de alma:

Q = A'·ȳ' = 785,7 cm² × 12,007 cm = 9434 cm³

τ = V·QI·b = 100 kN · 9434 cm³325 952 cm⁴ · 20 cm = 1,447 MPa

Em seções de paredes finas, a fórmula de Jourawski dá, nas mesas, a média vertical da tensão numa corda horizontal. Esse valor é pequeno e não representa o cisalhamento que existe ali, que corre ao longo da mesa, na horizontal.

No W 310x38,7 com V = 100 kN, a corda dá 1,70 MPa na raiz da mesa, e o fluxo nas paredes, 14,53 MPa. Nessas seções, o padrão do modo τ é o fluxo nas paredes, e a corda fica como comparação, com a ressalva na tela (Nas paredes: o fluxo de cisalhamento).

Na alma, as duas leituras ficam a 2 % uma da outra: 60,59 MPa no centroide pela corda e 61,82 MPa pelo fluxo. O modelo de linha média põe a área de cada mesa na altura do meio dela, o que dá um Q 1,4 % maior, e usa a inércia da própria linha média, 0,6 % menor.

Nas seções de paredes finas, o cisalhamento corre ao longo da linha média de cada parede. A grandeza natural é o fluxo de cisalhamento q, a força por unidade de comprimento ao longo da parede, e a tensão é o fluxo dividido pela espessura:

q(s) = V·Q(s)I, τ(s) = q(s)t

s é a posição ao longo da parede, e Q(s) é o momento estático, em relação ao eixo do centroide, do trecho de parede entre a borda livre e o ponto: Q(s) = ∫ y·t ds. É o trecho que o desenho destaca quando se aponta um ponto da parede.

Numa junção, os fluxos que chegam se somam, e a parede que sai começa com essa soma, como as correntes num nó. Por isso os fluxos das duas meias mesas de um I se juntam na alma.

As setas mostram o sentido do fluxo na face do corte da parte entre a ponta i e o corte: da borda livre para a junção quando V·Q > 0. As componentes verticais do fluxo nas paredes somam V, e, nas seções simétricas, as horizontais se anulam. Na cantoneira sobra uma resultante lateral (Cantoneiras).

O diagrama é traçado perpendicular à linha média, para fora da seção, com a altura proporcional a |τ| e a mesma escala em todas as paredes: triângulos nas mesas, parábola na alma e lóbulos no tubo, como nos livros. Os rótulos ficam no máximo e nos dois lados de cada junção.

O modelo de paredes de cada tipo, no mesmo referencial do contorno:

Nas seções fechadas, com a carga no eixo de simetria vertical, o fluxo é nulo onde esse eixo corta a parede. Cortar a seção ali a transforma em aberta sem mudar a resposta. No tubo, isso dá τ(φ) = V·sen φ/(π·R_m·t), com φ medido do topo, nulo no topo e na base e máximo na linha neutra. Na caixa de dois U ou Ue, o corte cai na costura, e cada perfil trabalha como seção aberta com metade do cortante. O tipo de ligação da caixa, contínua ou intermitente, não muda nada aqui.

Em seções de concreto, as tensões são as da seção bruta homogênea, no Estádio I: sem armadura e sem fissuração. São a leitura da análise linear, que também toma a seção bruta, e valem antes da fissuração.

Não são as tensões de serviço de uma peça fissurada. Com o concreto tracionado fissurado, a peça passa ao Estádio II, e a distribuição depende da armadura, que o diálogo não conhece (ABNT NBR 6118:2023).

Nos perfis U e U enrijecido, o centro de torção fica fora da alma, do lado oposto às mesas, e o desenho o marca como CT. A análise 2D não tem torção: admite que a carga passa pelo centro de torção, ou que a torção está impedida por telhas, tirantes ou travamentos.

Uma carga aplicada na alma ou na mesa torce a barra, e a torção de uma seção aberta de paredes finas gera tensões normais de empenamento, que esta leitura não calcula (VLASOV, 1961):

σ_w = B·ωC_w

B é o bimomento, ω a área setorial do ponto e C_w a constante de empenamento da seção.

Num Ue 150 × 60 × 20 × 2,65 biapoiado de 4 m, com apoios de garfo (torção impedida e empenamento livre nas pontas), G = 77 GPa e a carga uniforme na linha média da alma, o centro de torção fica a 28,0 mm da linha média da alma, do lado de fora, com C_w = 1895 cm⁶ e I_t = 0,19 cm⁴. A tensão de flexão máxima é de 54,2 MPa por kN/m, e a de empenamento chega a 67,8 MPa por kN/m, na ponta do enrijecedor: 1,25 vez a flexão.

Na cantoneira, o momento de inércia é o do eixo geométrico, e não o do eixo principal. As tensões são as da hipótese da análise 2D: a flexão fica contida no plano do pórtico, e uma contenção lateral absorve o resto.

Na leitura nas paredes, a resultante lateral do fluxo é a reação dessa contenção, e a ressalva traz o valor dela. Sem contenção, a flexão é oblíqua, em torno dos eixos principais, e as tensões mudam.

Na cantoneira formada a frio de abas iguais, os eixos principais ficam a 45°, e o centro de torção fica no canto das linhas médias. A constante de empenamento é nula, e a torção é quase toda de Saint-Venant. Valem as duas hipóteses do 2D: flexão contida no plano e carga pelo centro de torção.

Nos perfis formados a frio, as tensões são as da seção bruta, em regime elástico. A ABNT NBR 14762 trabalha com a seção efetiva quando as chapas comprimidas são esbeltas. Acima da tensão crítica de flambagem local ou distorcional, a distribuição real deixa de ser a de Navier na seção bruta, e esta leitura não calcula larguras efetivas.

O contorno usa a espessura de cálculo e os raios de dobra da ABNT NBR 6355, e A e I vêm das expressões do Anexo A da mesma norma. O fluxo nas paredes usa a linha média de cantos vivos, a mesma hipótese do Anexo A da norma para a constante de empenamento e o centro de torção.

Um gradiente de temperatura linear na altura não gera tensões internas por si. A deformação que ele impõe é compatível com seções planas, e o N e o M da análise já são as resultantes: Navier vale.

A análise, porém, toma o centroide a meia altura para aplicar o gradiente. Em seções com o centroide fora da meia altura (T, cantoneira, cartola), o N de uma barra restringida carrega um erro. Numa barra totalmente restringida, com a tração positiva:

N_análise − N_real = E·A·α·(ΔT_centroide − ΔT_{meia altura})

A ressalva aparece quando o resultado exibido tem gradiente na barra e o centroide está a mais de 0,1 % da altura fora da meia altura. No tubo, o centroide fica a meia altura, e a ressalva não se aplica.

A pressão entra na análise como deformação inicial, e o N do diagrama de um tubo pressurizado é a força efetiva S_ef, e não a força na parede. A tensão longitudinal na parede usa a força na parede:

N_parede = S_ef + p_i·A_i − p_e·A_e

A_i e A_e são as áreas dos círculos interno e externo. No tubo com pressão, o diálogo rotula o N dos esforços como N = S_ef, e a linha da parede mostra N_parede com a conta.

No duto do gerador, N_parede = −1696,6 + 617,4 = −1079,2 kN, e σ_x = N_parede/A = −86,92 MPa. A linha está totalmente restringida, e o valor é o da fórmula da linha restringida das ASME B31.4 e ASME B31.8, que a análise reproduz:

σ_x = ν·σ_θ − E·α·ΔT = 0,3 · 110,27 − 200 000 · 1,2·10⁻⁵ · 50 = 33,08 − 120 = −86,92 MPa

Com a força efetiva, N/A daria −136,65 MPa, e σ_x na base, −150,6 MPa em vez de −100,9 MPa: 49,7 MPa de erro, justamente a tensão de tamponamento (Extremidades tamponadas).

A análise admite extremidades tamponadas em toda barra com pressão: a pressão empurra os tampos e traciona a parede ao longo do tubo. A tensão de tamponamento é:

σ_L0 = p_i·A_i − p_e·A_eA_s

A_s = A_e − A_i é a área da parede. Não há opção de extremidade aberta.

No duto do gerador, σ_L0 = 617,4 kN / 124,16 cm² = 49,73 MPa, a diferença entre as duas leituras de N/A.

A pressão traciona a parede ao redor do tubo. A análise usa a fórmula de parede fina, na forma da do DNV-ST-F101, e o diálogo também:

σ_θ = (p_i − p_e)·D_m2t, D_m = D_e − t

Ela dá σ_θ igual ao redor do anel e uniforme na espessura. A distribuição exata na espessura é a de Lamé (TIMOSHENKO e GOODIER), máxima na face interna:

σ_θ(r) = p_i·r_i² − p_e·r_e²r_e² − r_i² + (p_i − p_e)·r_i²·r_e²(r_e² − r_i²)·r²

No duto do gerador, a fórmula de parede fina dá 110,27 MPa. Lamé dá 109,45 MPa na face interna e 100,45 MPa na externa, com média de 104,77 MPa na espessura: a fórmula de parede fina fica 0,7 % acima do máximo de Lamé, o da face interna, e é conservadora.

A tensão radial σ_r vai de −p_i na face interna a −p_e na externa. A análise a despreza, e a leitura também. Na face interna da base do duto, com σ_x = −99,80 MPa e o σ_θ de Lamé de 109,45 MPa, a tensão de von Mises dá 181,3 MPa sem σ_r e 181,8 MPa com σ_r = −10 MPa: 0,3 % de diferença.

Com σ_x, σ_θ e τ na parede, o estado de tensões é plano, com σ_r desprezada, e a tensão equivalente de von Mises junta as três:

σ_eq = √(σ_x² + σ_θ² − σ_x·σ_θ + 3τ²)

O diálogo a mede na face externa do tubo, onde a flexão é máxima: σ_x de Navier, com a força na parede, σ_θ da pressão, a mesma ao redor do anel, e o τ tangencial do anel médio, τ = V·sen φ/(π·R_m·t), nulo no topo e na base e máximo na linha neutra. σ_eq varia ao redor do anel porque σ_x e τ variam.

σ_eq não tem sinal: o desenho usa uma cor só, fora do par de tração e compressão, para ninguém ler o mapa como uma seção inteira tracionada. E não tem limite ao lado: é uma leitura, e não uma verificação (Sem verificação de norma).

No engaste do duto do gerador, σ_eq vale 182,9 MPa na base, 171,2 MPa na linha neutra e 159,8 MPa no topo, enquanto σ_x chega a 100,9 MPa em módulo. Na base, onde τ = 0:

σ_eq = √((−100,9)² + 110,27² − (−100,9)·110,27) = 182,9 MPa

O critério de Tresca daria 211,2 MPa na base. É outro critério, que o diálogo não mostra.

O modelo de barras não vê alguns efeitos que contam num duto. A ressalva os nomeia na tela, e o detalhe fica aqui: